縁のある帽子がHatで、周囲に縁のない野球帽みたいなのがCapという事になっているようだ。
実際に服飾系の正式な用語ではそうなっているだけで、アメリカ人なんかは全部含めて帽子はHatという言葉を使っているように個人的には感じる。

要するにコートもジャンパーも服の中の「上着」の「Jacket」という分類であるように、頭にかぶる物は全部とりあえず「Hat」という「帽子」という物で意味が通じているからそれで十分といった感じ。

正確にはBaseball Capだったり、そのときに応じて用語を使い分けているようだが、その辺の違いを正式に使い分けようとする日本人だから英語が上達しないんではなかろうか問題。

結論
帽子はとりあえず全部「Hat」でいいだろ。